ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ
Enunţuri şi propoziţii
Definiţie: O mulţime finită de semne se numeşte alfabet.
Definiţie: Se numeşte enunţ orice succesiune de semne dintr-un alfaben dat.
Logica matematică studiază acele enunţuri care sunt fie adevărate, fie false.
Definiţie: Se numeşte propoziţie un enunţ care poate fi adevărat sau fals, niciodată adevărat şi fals simultan.
p, q, r-notate
Balena este un peşte. F
Propoziţiile sunt legate între ele cu ajutorul conectări logicii:
„ ”- „non” (negaţia propoziţie);
„ L ” - „şi” (conjuncţia propoziţiei);
„V ”- „sau” (disjuncţia propoziţiei);
„ ® ”-„implică” (implicaţia propoziţiei);
„ « ”-„echivalent” (echivalenţa propoziţiei);
Dacă o propoziţie este adevărată spunem că ea apare ca valoare de adevăr, adevărul şi notăm „A” sau „1” .
Dacă o propoziţie este falsă spunem că ea are ca valoare de adevăr falsul notăm „F” sau „0” .
Valoarea de adevăr a unei propoziţii p se notează v(p).
Negaţia propoziţiei
Definiţie: Negaţia unei propoziţii p este propoziţia notată p care are valoarea de adevăr v( p)=1-v(p).
Exemplu:
- Propoziţia ”România se află în Asia.” are negaţia „ România nu se află în Asia.”.
- Propoziţia „3<7” are negaţia „3³7”.
Conjuncţia propoziţiei
Definiţie: Conjuncţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată p L q cu valoarea de adevăr v(p L q)=v(p) v(q).
Conjuncţia a două propoziţii este o propoziţie adevărată doar atunci când ambele propoziţii sunt adevărate şi este falsă în celelalte cazuri.
Exemple:
1.”Crapul este un peşte şi 8 este par.” este adevărată.
2. 3=5 şi 11:3” este falsă.
Disjuncţia propoziţiei
Definiţie: Disjuncţia a două propoziţii p,q este propoziţia notată p V q cu v(p V q)=v(p)+v(q)-v(p) v(q).
Disjuncţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atunci când ambele propoziţii sunt false.
Exemple:
- „20:4=5 sau 3×4=12” este adevărată.
- „25:5=3 sau 12<5” este falsă.
Implicaţia
Definiţie: Implicaţia propoziţiilor p,q este propoziţia notată p® q, cu v(p® q)=1-v(p)+v(p) v(q).
p ® q sau p® q
Implicaţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atunci când adevărul implică falsul.
p- premisă sau ipostază
q- concluzie
Exemplu: 3=3, pentru că 2>3.” este falsă.
Echivalenţa
Definiţie: Echivalenţa propoziţiei p,q este propoziţia p«q cu v(p« q) =1-v(p)-v(q)+2v(p) v(q).
p « q sau (p ® q) (q ® p)
p | q | p®q | q«p | p«q |
1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 0 1 1 | 1 1 0 1 | 1 0 0 1 |
Două propoziţii sunt echivalente doar atunci când ambele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr.
Două propoziţii compuse sunt echivalente («) atunci când pentru aceeaşi valoare ale propoziţiei componente prop compuse au aceeaşi valoare de adevăr.
Exemple:
1.”3>2 dacă şi numai dacă 5<6” este propoziţie adevărată.
2. „3=5 dacă şi numai dacă urşii se hrănesc cu beton” este propoziţie falsă.
Definiţie:O expresie a cărui valoare de adevăr este adevărul indiferent de valorile propoziţiei componente se numeşte tautologie.
Teoremă: Fie p,q propoziţii. Avem [(p®q) L (q ®p)] «(p«q).
p | q | p®q | q®p | (p®q) L(q®p) | p«q | |
|
|
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
|
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|
Teoremă: Legea dublei negaţii : p « q
p | p | p | p« q |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 |
|
|
|
|
Exemplu: Este fals că „Ana nu mers la cinema”, adică „Ana a mers la cinema.” |
Legea terţului exclus : Propoziţia p V q este adevărată.
Exemple: „3²+4²=5² sau 3²+4²¹5²”
Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propoziţii. Avem
(p®q) « ( q® p).
p | q | P ® q | q ® p | (p ®q)® ( q®p) |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Exemple: „Dacă 4>3, atunci 2 >2³” este echivalent cu „Dacă 2 £2³, atunci 4£3”.
Referatele si lucrarile oferite de carturarul-all.ucoz.com au scop educativ si orientativ pentru cercetare academica. 